1. Pour commencer, un peu de théorie
   1. Fonctionnement à vide (couple sur l'arbre CA=0)
   2. Fonctionnement en charge (couple sur l'arbre 0<CA<CB)
2. Validation du modèle sur un moteur réel
   1. Mesures en génératrice :
   2. Mesures alimenté à vide :
3. Caractérisation complète de ce moteur
   1. Et les puissances ?
4. Exploitation des fiches de caractéristiques des fabricants

Pour commencer, un peu de théorie

• Le couple moteur est proportionnel à l'intensité du courant qui le traverse (à noter qu'une partie de ce couple est utilisée pour vaincre les frottements internes et pertes diverses). Le coefficient de proportionnalité est la constante de couple K_C.

• Le schéma électrique équivalent du moteur comprend en série une résistance Rs et un générateur développant à ses bornes une f.c.e.m (force contre-électromotrice) proportionnelle à la vitesse. Le coefficient de proportionnalité est égal à la constante de couple K_C introduite ci-dessus. Quant à la résistance Rs, elle représente principalement la résistance ohmique de l'induit et dans une moindre mesure la résistance de contact balais-collecteur. Il est permis d'y intégrer également d'autres pertes, comme celles dues à la commutation du collecteur.

(1)		C (en N.m) est le couple généré sur le rotor, I (en A) l'intensité du courant, et Kc (en N.m/A) la constante de couple du moteur.
(2)		UG (en V) est la f.c.e.m développée dans l'induit et ω (en rad/s) la vitesse angulaire. Kc (en N.m/A) est toujours la constante de couple du moteur, comme dans l'équation (1). Remarque : On s'attendrait ici à exprimer Kc en (V.s/rad) pour satisfaire à l'homogénéité de l'équation. Aucune contradiction portant, les (V.s/rad) et les (N.m/A) sont deux unités équivalentes.
(3)		Pour obtenir le couple CA (en N.m) disponible sur l'arbre, il faut déduite de C divers termes de pertes : Un couple de frottement CF  indépendant de la vitesse (frottement cinématique). Il correspond à la légère résistance que l'on peut ressentir en faisant tourner le rotor à la main. On peut aussi intégrer dans ce terme d'autres pertes équivalentes à un couple constant (ou à une perte de puissance proportionnelle à la vitesse). L'autre terme de couple KF.ω correspond à un frottement visqueux, proportionnel à la vitesse. On peut aussi intégrer dans ce terme d'autres pertes équivalentes à un couple proportionnel à la vitesse (ou à une perte de puissance proportionnelle au carré de la vitesse).
(4)		C'est l'application de la loi des mailles dans le circuit électrique du schéma ci-dessus.

Fonctionnement à vide (couple sur l'arbre C_A=0)

(5)				La vitesse à vide ω0 (en rad/s) est fonction linéaire de la tension d'alimentation U. Le moteur ne démarre qu'au-delà d'une tension de seuil U0 dépendante des frottements. Le paramètre f (sans dimension) rend compte de l'influence des frottements visqueux. Remarque : En réalité, la tension nécessaire pour faire démarrer le moteur est supérieure à U0. Il faut vaincre le frottement statique (sorte de "collage" au démarrage), non pris en compte dans la modélisation.
(6)				Courant consommé à vide par le moteur. Il croît avec les frottements et autres pertes internes. Comme la vitesse à vide, il est fonction linéaire de la tension d'alimentation U.

Fonctionnement en charge (couple sur l'arbre 0<C_A<C_B)

(7)		CB est le couple de blocage : c'est le couple maximal appliqué par le moteur, rotor bloqué.
(8)			La vitesse du moteur diminue linéairement avec la charge. On exprime cette charge une valeur sans dimension x=CA/CB, qui varie de 0 à vide jusqu'à 1 au blocage du rotor. CA est le couple résistant  que la charge soumet à l'arbre moteur.
(9)			La pente RV de cette chute de vitesse en fonction du couple résistant CA est la constante de régulation de vitesse du moteur qui s'exprime en rad/(s.N.m). Plus cette constante est faible, plus le moteur "tient la charge". C'est un bon indicateur de performance pour nos modèles.
(10)		Le courant I consommé en charge par le moteur croît linéairement avec la charge x . Il de I0 à vide (x=0) jusqu'à U/RS au blocage du rotor (x=1) .
(11)		Puissance électrique (en W) absorbée par le moteur.
(12)			La puissance mécanique PR (en W) restituée sur l'arbre est nulle à vide (x=0) et rotor bloqué (x=1) . Elle est maximale (PR=PMAX) lorsque la charge fait chuter la vitesse de moitié (x=1/2 , ω=ω0/2).
(13)		La puissance PD=PA-PR, qui rassemble toutes les pertes de puissance dans le moteur, est dissipée sous forme de chaleur. Cette puissance (donc l'échauffement du moteur) croît avec la charge x, d'abord modérément jusqu'à mi-charge (x≈0.5), puis beaucoup plus rapidement ensuite.
(14)	Mise à jour du 8/02/2009 : La définition de la constante a a été modifiée depuis la dernière version		Le rendement ρ=PR/PA est le rapport de la puissance mécanique restituée divisée par la puissance électrique absorbée. Variant entre 0 et 1, il exprime l'aptitude de moteur à transformer la puissance électrique qui lui est fournie en puissance mécanique fournie à la charge. Il varie en fonction du régime et passe par un maximum (voir (15) ci-dessous) généralement situé vers les 2/3 de la vitesse à vide. Les paramètre a et b (sans dimension) représentent l'influence sur le rendement de toutes les pertes interne au moteur.
(15)			Le rendement ρ atteint un maximum ρMAX pour une charge particulière xM  exprimée ici en fonction de a .
(16)			Expression complète du régime (vitesse, couple, courant) donnant le rendement maximal. Une fois ces valeurs connues, il est possible de calculer simplement  ρMAX  selon l'expression ci-contre.

Validation du modèle sur un moteur réel

• La tension aux bornes du moteur,
• L'intensité du courant qui le traverse,
• La vitesse de rotation (à l'aide d'un stroboscope).

Mesures en génératrice :

Le graphe ci-contre représente le relevé de UG (axe vertical, en V) en fonction de  ω (axe horizontal, en rad/s). Les 5 points représentent les relevés. La ligne rouge représente la droite de régression. La proportionnalité est quasi parfaite. Le coefficient de la droite de régression donne directement la constante KC , pente de la droite. Ici, KC = 0.0067 V.s/rad = 0.0067 N.m/A

Mesures alimenté à vide :

A gauche : Le graphe donne la vitesse à vide ω0 (axe vertical en rad/s) en fonction de la tension d'alimentation U (axe horizontal en V) La pente vaut 1/(KC.(1+f)) = 133 L'intersection avec l'axe des abscisses vaut U0=1.8V A droite : Le graphe donne le courant consommé à vide (axe vertical en A) toujours en fonction de la tension d'alimentation U (axe horizontal en V) La pente vaut  f/(RS.(1+f)) = 0.0026 L'intersection avec l'axe des ordonnées vaut U0/(RS.(1+f)) = 51 mA  Dans les 2 cas, la linéarité est bien vérifiée.

• La seconde : U₀=1.8V
• En divisant la troisième par la dernière : f/U₀ = 0.0026 / 0.051 = 0.051, soit  f = 0.092
• Les deux dernières valeurs permettent chacune de retrouver R_S : elles donnent toutes deux 32.3 Ω, valeur très proche de celle déjà mesurée (34 Ω).
• Enfin, la première valeur nous permet de recalculer K_C, déjà mesuré plus haut : on trouve K_C = 0.0069 N.m/A, au lieu des 0.0067 déjà mesurés. Là encore, les mesures concordent bien.
• La détermination de K_C et R_S par la première méthode (génératrice) étant plus précises, on ne retient que les premières valeurs trouvées

Caractérisation complète de ce moteur

• La vitesse en fonction de la charge (caractéristique linéaire)
• Le courant consommé en fonction de la charge (caractéristique linéaire)
• Le rendement en fonction de la charge

Courbes caractéristiques d'un moteur Jouef, calculées d'après les mesures de ses constantes caractéristiques : Elles sont tracées pour une tension d'alimentation de 12V. En abscisse, le couple en mN.m Droite bleue : vitesse de rotation, graduée sur l'échelle de gauche en tours/mn : La vitesse à vide est de 13300 tours/mn à vide (couple nul) puis décroît linéairement jusqu'à 0 (rotor bloqué) pour un couple de 2 mN.m. Courbe verte : rendement du moteur, gradué sur l'échelle de gauche en % x 100 : Il est maximal (autour de 30%) pour un couple de 0.4 à 0.8 mN.m environ et décroît lentement autour de cette plage. Droite rouge : courant consommé, gradué sur l'échelle de droite en mA : on progresse de 80mA à vide jusqu'à 350mA rotor bloqué

Même genre de graphes, cette fois extraits d'une documentation Bühler : Il s'agit du moteur référence 1.16.018.031. On observe le même type de comportement. Ce moteur, dont les dimensions et la vitesse à vide sont comparables au Jouef, est nettement plus performant, avec un couple approximativement doublé et un meilleur rendement. Mais la comparaison est déloyale : un moteur neuf contre un autre de presque 40 ans d'âge non révisé !

©Bühler

Et les puissances ?

Toujours sur le même moteur, tracé des courbes des différentes puissances mises en jeu, toujours sous 12V : En abscisse, le couple en mN.m Droite bleue : Puissance électrique absorbée. La tension d'alimentation étant constante, la puissance absorbée suit la linéarité du courant consommé Courbe rouge : Puissance mécanique restituée sur l'arbre. Comme je l'ai déjà expliqué, elle est maximale à mi-charge (ici 0.68 W). Cette puissance est toujours nettement plus faible que la puissance absorbée, c'est la conséquence du faible rendement de ces petits moteurs. Courbe verte : Puissance dissipée. C'est la différence entre les deux premières, autrement dit les pertes du moteur. Elle ne contribue qu'à une chose : l'échauffement du moteur. On constateque l'échauffement croît modérément jusqu'à mi-charge (on passe de 1 à 2 W), puis plus rapidement ensuite (2 à plus de 4 W). C'est  pourquoi ces petits moteurs sont généralement prévus pour fonctionner dans le premier tiers ou moitié de la charge. Regardez plus haut les graphes du Bühler : la plage nominale s'arrête à 2mN.m, soit un peu moins de la moitié du couple de blocage.

Exploitation des fiches de caractéristiques des fabricants