Détail des calculs Dernière mise à jour :
18/02/2009
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  1. Fonctionnement à vide
  2. Fonctionnement en charge
  3. Puissances mises en jeu
  4. Rendement



La page Théorie moteur , consacrée à la modélisation des moteurs à courant continu et aimant permanent, donne directement sans aucune démonstration une série d'équations qui décrivent le comportement du moteur sous toutes les conditions de charge ou d'alimentation.

Les lecteurs curieux de trouver l'origine de ces équations, ou désireux de vérifier les calculs, trouveront ici les calculs intermédiaires. Les notations sont inchangées.

Rappelons les 4 équations de départ :

(1) Eq1 C (en N.m) est le couple généré sur le rotor, I (en A) l'intensité du courant, et Kc (en N.m/A) la constante de couple du moteur. Cette constante est proportionnelle au flux magnétique dans l'induit.
(2) Eq2 UG (en V) est la f.c.e.m développée dans l'induit et ω (en rad/s) la vitesse angulaire.
Kc
(en N.m/A) est toujours la constante de couple du moteur, comme dans l'équation (1).
Remarque : On s'attendrait ici à exprimer Kc en (V.s/rad) pour satisfaire à l'homogénéité de l'équation. Aucune contradiction portant, les (V.s/rad) et les (N.m/A) sont deux unités équivalentes.
(3) Eq3 Pour obtenir le couple CA (en N.m) disponible sur l'arbre, il faut déduite de C divers termes de pertes :
  • Un couple de frottement CF  indépendant de la vitesse (frottement cinématique). Il correspond à la légère résistance que l'on peut ressentir en faisant tourner le rotor à la main. On peut aussi intégrer dans ce terme d'autres pertes équivalentes à un couple constant (ou à une perte de puissance proportionnelle à la vitesse).
  • L'autre terme de couple KF correspond à un frottement visqueux, proportionnel à la vitesse. On peut aussi intégrer dans ce terme d'autres pertes équivalentes à un couple proportionnel à la vitesse (ou à une perte de puissance proportionnelle au carré de la vitesse).
(4) Eq4 C'est l'application de la loi des mailles dans le circuit électrique du schéma ci-dessus.

Ces 4 équations de base nous permettent de reconstituer le comportement du moteur dans toutes les conditions de charges et d'alimentation.

Fonctionnement à vide

Le moteur alimenté sous la tension U est parcouru par le courant I0. Sa vitesse à vide vaut ω0, et le couple soumis à l'arbre est nul : CA=0.

D'après (3) et (1) : Eq.Det.5a     donc    Eq.Det.5b

Par ailleurs, d'après (4) :  Eq.Det.5c    donc    Eq.Det.5d

On en déduit :    Eq.Det.5e

Nous sommes arrivés à l'équation (5) :


(5) Eq.5     avec :     Eq.5a     et      Eq.5f

Calcul du courant à vide : En réintroduisant l'expression de ω0 dans celle de I0 :

Eq.Det.6a

D'où l'équation (6) :


(6) Eq.6

Fonctionnement en charge

Le moteur étant toujours alimenté sous la tension U, on relie cette fois à l'arbre une charge qui lui applique un couple résistant CA

La vitesse diminue et passe à ω, et le courant consommé I augmente. 

En augmentant de plus en plus la charge, la vitesse finit par s'annuler (rotor bloqué). Le couple atteint une valeur CB appelée couple de blocage.

D'après (3) :  Eq.Det.7a

D'après (4) :  Eq.Det.7b

On en déduit en utilisant (5) :  Eq.Det.7c

d'où l'équation (7) :


(7) Eq.7

On va maintenant définir la charge du moteur par un paramètre x=CA/CB sans dimension. Sa valeur varie de 0 (à vide) jusqu'à 1 (blocage).
D'après (1) et (3) :  Eq.Det.8a    ,     d'où :    Eq.Det.8b

En substituant l'expression de I dans (4) :

Eq.Det.8c

On aboutit à l'équation (8) qui donne la vitesse en charge :


(8) Eq.8         avec          Eq.8a

L'équation (8) montre une propriété importante : la vitesse décroît linéairement en fonction de la charge. La pente de cette variation représente une caractéristique importante du moteur (elle indique comment le moteur « tient la charge ») : C'est la constante de régulation de vitesse RV. Elle est d'autant plus faible que le moteur est performant. Elle s'exprime en rad/(s.N.m) dans le système international d'unités, ou en tour/mn/(mN.m) en unités plus usuelles.


(9) Eq.9         et          Eq.9a

Calcul du courant en charge :  On  réintroduit  l'expression de ω (8) dans celle de I  :

Eq.Det.10a

Nous sommes arrivés à l'expression du courant en fonction de la charge (équation (10)) : Le courant varie linéairement entre I0 à vide (x=0) jusqu'à U/RS au blocage (x=1).


(10) Eq.10

Puissances mises en jeu

Tout d'abord, la puissance électrique PA=U.I  absorbée par le moteur découle directement de (10) :

(11) Eq.11

Ensuite, la puissance mécanique PR=CA restituée sur l'arbre :

D'après (8) :  Eq.Det.12a

Cette équation s'annule en x=0 (fonctionnement à vide) et x=1 (rotor bloqué) et possède une caractéristique parabolique avec un maximum en x=1/2. La puissance restituée est maximale (PMAX) lorsque la charge fait chuter la vitesse de moitié.


(12) Eq.12         et         Eq.12a

Puissance PD=PA-PR dissipée par le moteur : Elle rassemble toutes les pertes de puissance dans le moteur et est responsable de son échauffement. Cette puissance (donc l'échauffement du moteur) croît avec la charge x, d'abord modérément jusqu'à mi-charge (x≈0.5), puis très rapidement ensuite.


(13) Eq.13

Rendement

Le rendement ρ=PR/PA du moteur représente son aptitude à transformer la puissance électrique fournie en puissance mécanique restituée sur l'axe. Il vaudrait 1 pour un moteur idéal.

D'après (11) et (12) :

Eq.Det.14a
Nous sommes arrivés à une expression du rendement :

(14) Eq.14    avec :     Eq.14a     et     Eq.14b

Le rendement est nul à vide (x=0) et rotor bloqué (x=1), et passe par un maximum à un régime particulier. Recherchons ce maximum :
On cherche le zéro de la dérivée :

Eq.Det.15a

Les racines x1 et x2 du numérateur sont :

Discriminant :  Eq.Det.15b       
Racines :    Eq.Det.15x1    et    Eq.Det.15x2

Seule la première racine est valable (appelons la xM), la seconde est négative.
On en déduit la valeur du rendement au maximum :
On remarque dans l'expression de la dérivée de ρ que celle-ci s'annule lorsque :   Eq.Det.15c

En reportant dans l'expression de ρ :

Eq.Det.15d

Nous connaissons maintenant le rendement maximal et la charge correspondante xM :


(15) Eq.15    avec :     Eq.15a

Nous pouvons également exprimer le point de fonctionnement (vitesse, couple, courant) correspondant, en appliquant à xM les équations (8) et (10) :

(16) Eq.16          Eq.16a           Eq.16b
Eq.16c




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